有趣的数学【06】:换元法去根号,横看成岭侧成峰

in #steempress3 years ago (edited)

有时候,碰到一件事情,人们容易陷入其中看不清真相,“不识庐山真面目,只缘身在此山中。”

如果能够抽身出来,换个角度看问题,有时候就豁然开朗了,正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”。

解数学题也是这个道理。换元法就是很实用的一种方法。

换元法又称变量替换法 , 是我们解题常用的方法之一 。利用换元法 , 对结构比较复杂的多项式,把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),可以化繁为简 , 化难为易 , 从而找到解题的捷径 。


请看下面这道题目:
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看到含有根号的这种题目,第一件事就是先把x的取值范围给确定下来:

3x-5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5/3;
x+2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2;

接下来就是见证奇迹的时刻了,使用代入法简化方程:

设 x+2 = t (t ≥ 0),
则 3x-5 = 3(x+2) - 11 = 3t - 11;

原式变为:
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将2边同时平方,去根号:
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用昨天说过的十字相乘法继续对方程进行因式分解:
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因为 t = x+2,
所以 x=7。

我们检查刚开始解题时的x的取值范围,x=7符合条件,解题完成。


我们再来看一道题:
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用Δ=b²-4ac进行判定 a² + 3a +6是否还能分解:
Δ= 9 - 24 < 0,不是完全平方数,所以 a² + 3a +6不能再分解了,解题结束。


实际上,我们之前解题的时候,已经无意中使用过换元法了。

人类的大脑虽然容量很大威力强大,但是对于这个真实复杂的世界,还是需要找出某些规律,法则进行条理简化抽象才能记住并掌握。

换元法就是一种简化工具,一道题想不到这种方法的时候可能会成为一道死题,一旦想到就势如破竹了。我们在生活中也需要活跃思维,用智慧而不是用蛮力去解决问题。想法很重要,观点很重要。想法对了,做起来就事半功倍了。


附上解题的全部过程:


参考:百度百科:换元法


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